[스크랩] 피타고라스 정리

피타고라스의 정리 다음 그림과 같이 직각삼각형의 직각을 낀 두 변의 길이를 각각 라 하고, 빗변의 길이를 라 하면 이다. 이 정리를 처음으로 증명한 사람은 고대 그리스의 수학자인 피타고라스이다. 따라서 그의 이름을 따서 이 정리를 피타고라스의 정리라고 한다. ◀◀ 참고 피타고라스의 정리를 이용하면 직각삼각형에서 두 변의 길이를 알 때, 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있다. 즉 위의 그림과 같은 직각삼각형에서 이다. ◀◀ 보기 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이가 각각 일 때, 빗변의 길이는 직각삼각형에서 직각을 낀 한 변의 길이가 , 빗변의 길이가 일 때, 직각을 낀 또 다른 한 변의 길이는 직각삼각형 에서 일 때, 의 길이는 직각삼각형 에서 일 때, 의 길이는 직각삼각형 에서 일 때, 의 길이는 직각삼각형 에서 일 때, 의 길이는 피타고라스의 정리의 증명 다음 그림과 같은 직각삼각형 에서 두 변 를 연장하여 를 한 변의 길이로 하는 정사각형 를 만들면, 정사각형 를 서로 합동인 네 개의 삼각형 와 한 개의 정사각형 로 나눌 수 있다. □ □ 이므로 이것을 계산하여 정리하면 ◀◀ 보기 다음 그림과 같은 직각삼각형 에서 이 성립함을 증명해 보자. 모눈 하나의 가로와 세로의 길이를 각각 이라고 하면 이다. ㉮ 한편, 를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 다음 그림에서 ㉯ ㉮, ㉯에서 삼각형의 닮음을 이용하여 피타고라스의 정리를 증명해 보자. 다음 그림과 같은 직각삼각형 의 꼭지점 에서 빗변 에 내린 수선의 발을 라 하자. 와 에서 (공통) ∽ 와 에서 (공통) ∽ 따라서 이므로 이 두 식을 변끼리 더하면 ㉮ 위의 그림에서 이므로 이것을 ㉮에 대입하면 다음 그림은 합동인 개의 직각삼각형을 맞추어 한 변의 길이가 인 정사각형을 만든 것이다. 이 그림을 이용하여 피타고라스의 정리를 증명해 보자. 한 변의 길이가 인 정사각형의 넓이는, 서로 합동인 개의 직각삼각형의 넓이와 한 변의 길이가 인 정사각형의 넓이의 합과 같다. 즉 이므로 다음 그림과 같이 직각삼각형 의 바깥쪽에 한 변을 각각 로 하는 세 개의 정사각형을 만든다. 다음에 점 로부터 에 그은 수선 이 와 만나는 점을 이라 하고, 점 와 점 , 점 와 점 를 잇는다. 이제 이 그림에서 이 성립함을 증명해 보자. 와 에서 (∵□ 는 정사각형) (∵□ 는 정사각형) ( 합동) ㉮ 와 에서 높이가 같고 밑변 가 공통이므로 = ㉯ 또 와 에서 높이가 같고 밑변 가 공통이므로 = ㉰ ㉮, ㉯, ㉰에서 □ □ ㉱ 마찬가지 방법으로 와 를 생각하면 □ □ ㉲ ㉱, ㉲에 의하여 □ □ □                = □ □ 합동인 두 삼각형 를 다음 그림과 같이 붙여 놓았다. 가 직각이등변삼각형이 됨을 밝혀, 이것과 사다리꼴의 넓이를 이용하여 임을 증명해 보자. 이므로 ㉮ (대응각) ㉯ ㉮, ㉯에서 는 직각이등변삼각형이다. 또, □ 이고 □ 이므로 삼각형의 각의 크기에 대한 변의 길이 삼각형 에서 의 크기를 다음 그림과 같이 세 가지로 나눌 수 있다.   인 경우 피타고라스의 정리에 의해서 인 경우 다음 그림과 같이 의 꼭지점 에서 의 연장선에 내린 수선의 발을 라 하고, 로 놓자. 와 는 모두 직각삼각형이고, 피타고라스의 정리에 의하여 다음 식이 성립한다. ㉮ ㉯ ㉮와 ㉯에서 를 소거하기 위하여 ㉮ －㉯를 하면 이를 간단히 하면 그런데 이므로 인 경우 다음 그림과 같이 의 꼭지점 에서 에 내린 수선의 발을 라 하고, 라 하자. 직각삼각형 와 에서 피타고라스의 정리에 의하여 ㉮ ㉯ ㉮와 ㉯에서 를 소거하기 위하여 ㉮ － ㉯를 하면 이를 간단히 하면 그런데 이므로 이상을 정리하면 다음과 같은 삼각형의 각에 대한 변의 관계를 얻을 수 있다. 에서 이면 이면 이면 ◀◀ 보기 (1) 다음 그림과 같은 에서 의 값의 범위를 구해 보자. 가 예각이므로 그런데 는 변의 길이이므로 이다. ㉮ 한편, 삼각형의 한 변의 길이는 다른 두 변의 길이의 차보다는 크고 합보다는 작아야 하므로 ㉯ ㉮, ㉯에서 (2) 직각삼각형의 세 변의 길이가 일 때, 이 삼각형의 세 변의 길이를 구해 보자. 가 빗변의 길이가 되므로 이므로 따라서 주어진 삼각형의 세 변의 길이는 각각 이다. (3) 다음 그림과 같은 삼각형 에서 의 범위를 구해 보자. (단, ) 이므로 인 에서 세 변의 길이가 일 때, 의 값의 범위를 구해 보자. (단, 는 의 대변) 이므로 이므로 ㉮ 또 삼각형의 한 변의 길이는 다른 두 변의 길이의 차보다는 크고 합보다는 작아야 하므로 ㉯ ㉮, ㉯에서 (5) 다음 그림과 같이 가 둔각삼각형일 때, 의 값의 범위를 구해 보자. 이므로 이므로

출처 : 노가다만세

글쓴이 : 슈퍼노가다 원글보기

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